如图.Rt△ABC中.∠ABC=90°.AB=4.BC=3.点D从B点出发.沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动.射线MP⊥射线CB.且BM=10.点Q从M点出发.沿射线MQ方向以每秒a个单位长度的速度运动.己知D.Q两点同时出发.记时间为t．(1)当t=10时.△DMQ是等腰三角形.求a的值,(2)求t为何值时.△DCA为等腰三角形,(3)若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D从B点出发，沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP⊥射线CB，且BM=10，点Q从M点出发，沿射线MQ方向以每秒a个单位长度的速度运动，己知D，Q两点同时出发，记时间为t．
（1）当t=10时，△DMQ是等腰三角形，求a的值；
（2）求t为何值时，△DCA为等腰三角形；
（3）若△DMQ与△ABC全等，求a的值．

分析（1）当t=10时，DB=30，得到DM=20，由于△DMQ是等腰三角形，∠DMQ=90°，得到DM=MQ，于是得到a=2；
（2）①当AC=AD时，△DCA为等腰三角形，得到BD=BC=3，求得t=1，②当AC=CD=4时，△DCA为等腰三角形，得到BD=1，于是得到t=$\frac{1}{3}$，③当AD=CD=3+3t时，△DCA为等腰三角形，根据勾股定理列方程即可得到t=$\frac{7}{18}$，
（3）当△DMQ与△ABC全等，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答解：（1）当t=10时，DB=30，
∵BM=10，
∴DM=20，
∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ=90°，
∴DM=MQ，
即20=10a，
∴a=2；
（2）①当AC=AD时，△DCA为等腰三角形，
∵AB⊥CD，
∴BD=BC=3，
∴t=1，
②当AC=CD=4时，△DCA为等腰三角形，
∵BC=3，
∴BD=1，
∴t=$\frac{1}{3}$，
③当AD=CD=3+3t时，△DCA为等腰三角形，
∵∠ABD=90°，
∴AB²+BD²=AD²，
即4²+（3t）²=（3+3t）²，
∴t=$\frac{7}{18}$，
综上所述：t=1，$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{18}$时，△DCA为等腰三角形；
（3）当△DMQ与△ABC全等，
①△DMQ≌△ABC，
∴MQ=BC=3，DM=AB=4，
∵BM=10，
∴BD=6，
∴t=2，
∴a=$\frac{3}{2}$，
②△DMQ≌△CBA，
∴DM=BC=3，MQ=AB=4，
∴BD=7，
∴t=$\frac{7}{3}$，
∴a=$\frac{12}{7}$，
综上所述：当△DMQ与△ABC全等时，a=$\frac{3}{2}$，$\frac{12}{7}$．

	A．	等腰三角形		B．	直角三角形
	C．	等边三角形		D．	三角形的形状不确定

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