Question

如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD。

(1) 判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
(2) 如果ÐBDE=60°，PD=，求PA的长。

Answer 1

略解析:
解：(1) PD是⊙O的切线，连接OD，∵OB=OD，∴Ð2=ÐPBD，
又∵ÐPDA=ÐPBD，∴ÐPDA=Ð2，又∵AB是半圆的直
径，∴ÐADB=90°，即Ð1+Ð2=90°，∴Ð1+ÐPDA=90°，
即OD^PD，∴PD是⊙O的切线。
(2) 方法一：
∵ÐBDE=60°，ÐODE=90°，ÐADB=90°，
∴Ð2=30°，Ð1=60°。∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形。
∴ÐPOD=60°。∴ÐP=ÐPDA=30°，∴PA=AD=AO=OD，
在Rt△PDO中，设OD=x，
∴x2+()2=(2x)2，∴x1=1，x2= -1 (不合题意，舍去)，
∴PA=1。
方法二：
∵OD^PE，AD^BD，ÐBDE=60°，∴Ð2=ÐPBD=ÐPDA=30°，
∴ÐOAD=60°，
∴ÐP=30°，∴PA=AD=OD，在Rt△PDO中，ÐP=30°，PD=，
∴tanÐP=，
∴OD=PD?tanÐP=?tan30°=´=1，∴PA=1。