Question

在四边形ABCD中，边AB=x，BC=CD=4，DA=5，它的对角线AC=y，其中x，y都是整数，∠BAC=∠DAC，那么x=________．

Answer 1

5或4
分析：此题要分两种情况：①当∠ABC=∠ADC时，可以证出△ABC≌△ADC；②当∠ABC≠∠ADC时，过点C分别作CE垂直AB延长线于点E，CF垂直AD于点F．利用勾股定理可求出答案．
解答：证明：①当∠ABC=∠ADC时，
又∠BAC=∠DAC，CB=CD，
∴△ABC≌△ADC，
∴AB=AD=5
∴x=5；
②当∠ABC≠∠ADC时，过点C分别作CE垂直AB延长线于点E，CF垂直AD于点F．
∵AC平分∠BAD，
∴CE=CF，
又有BC=CD=4，
∴△CEB≌△CFD，
∴BE=FD，AE=AF
∴AE=AF=AD-FD=5-BE，
∴AE=AB+BE=x+BE，
∴5-BE=x+BE，
BE=，
AE=x+=，
CE²=BC²-BE²=16-，
CA²=AE²+CE²，
y²=+16-，
y²=16+5x，
x=，
在△ADC中，1＜y＜9，x，y都是整数，
所以y²末位数字只能是6，
∴y=6，
∴x=4
故答案为：5或4．
点评：此题主要考查了角平分线的性质以及勾股定理的应用，关键是要考虑全面各种情况，不要漏解．