Question

如图，在三角形△ABC中，AC=BC，若将△ABC沿BC平移BC长的距离，得△CEF，连接AE．
（1）AE与CF有何特定位置关系？说明理由；
（2）若∠B=60°，BC=6cm，求四边形ABEF的面积．

Answer 1

分析：（1）猜想：AE与CF互相垂直平分．由于△CEF是△ABC沿BC平移得到的，那么可知AC∥EF，且AC=EF，根据AC=BC，可得四边形ACEF是菱形，即可判定AE、CF互相垂直；
（2）首先过点A作AH⊥BC于点H，由∠B=60°，AB=BC，可证得△ABC是等边三角形，即可求得AH的长，继而求得答案．

解答：解：（1）AE⊥CF．
理由：连接AF，
∵将△ABC沿BC平移BC长的距离，得△CEF，
∴BC=CE，AC=EF，AC∥EF，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵AC=BC，
∴AC=CE，
∴?ACEF是菱形，
∴AE⊥CF；

（2）过点A作AH⊥BC于点H，
∵∠B=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC=6cm，
∴AB=AC=6cm，
∴AH=AB•sin60°=3

3

（cm），
∵四边形ACEF是菱形，
∴AF=CE=AC=6cm，AF∥BE，
∴四边形ABEF是梯形，BE=BC+CE=12（cm），
∴S_{四边形ABEF}=

1

2

（AF+BE）•AH=

1

2

×（6+12）×3

3

=27

3

（cm²）．

点评：此题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．