Question

5．已知如图：△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD=BE；②AN=BM；③∠APM=60°；④△CMN是等边三角形；⑤MN∥BD；⑥PC平分∠BPD，其中，正确的是①②③④⑤⑥（填写序号）

Answer 1

分析 ①根据等边三角形的性质得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，则∠ACE=60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD=BE；
②由△ACD≌△BCE得到∠CAD=∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，所以AN=BM；
③根据三角形内角和定理可得∠CAD+∠CDA=60°，而∠CAD=∠CBE，则∠CBE+∠CDA=60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BPD=120°，即可得到结论；
④由△ACN≌△BCM得到CN=BM，加上∠MCN=60°，则根据等边三角形的判定即可得到△CMN为等边三角形；
⑤由△CMN为等边三角形得到∠CMN=60°，所以∠CMN=∠BCM，于是根据平行线的判定即可得到MN∥BC；
⑥作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，由△ACD≌△BCE得到CQ=CH，于是根据角平分线的判定定理即可得到CP平分∠BPD．

解答 证明：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE=120°，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACN和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠BCM}\\{CA=CB}\\{∠CAN=∠CBM}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴AN=BM；
③∵∠CAD+∠CDA=60°，
而∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE+∠CDA=60°，
∴∠BPD=120°，
∴∠APM=60°；
④∵△ACN≌△BCM，
∴CN=BM，
而∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形；
⑤∵△CMN为等边三角形；
∴∠CMN=60°，
∴∠CMN=∠BCM，
∴MN∥BC；
⑥作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，
∵△ACD≌△BCE，
∴CQ=CH，
∴CP平分∠BPD．
故答案为：①②③④⑤⑥．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．