题目内容
【题目】如图,四 边形OABC是矩形,点A、C在坐标轴上，△ODE是由△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的,点D在X轴上，直线BD交Y轴于点F,交OE于点H,线段BC、OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根，且OC＞BC.
（1）求直线BD的解析式.
（2）求 △OFH的面积.
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：y=-
x+
；（2）
；（3）存在满足条件的N点，其坐标为（
，-）或（-4，-
）或（4，）．
【解析】
（1）解方程可求得OC、BC的长，可求得B、D的坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式；
（2）可求得E点坐标，求出直线OE的解析式，联立直线BD、OE解析式可求得H点的横坐标，可求得△OFH的面积；
（3）当△MFD为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N点坐标．
（1）解方程x2-6x+8=0可得x=2或x=4，
∵BC、OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根，且OC＞BC，
∴BC=2，OC=4，
∴B（-2，4），
∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，
∴OD=OC=4，DE=BC=2，
∴D（4，0），
设直线BD解析式为y=kx+b，
把B、D坐标代入可得
，解得
，
∴直线BD的解析式为y=-x+；
（2）由（1）可知E（4，2），
设直线OE解析式为y=mx，
把E点坐标代入可求得m=
，
∴直线OE解析式为y=x，
令
，解得x=
，
∴H点到y轴的距离为，
又由（1）可得F（0，），
∴OF=，
∴S△OFH=××=；
（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，
∴△DFM为直角三角形，
①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，
由（2）可知OF=，OD=4，
则有△MOF∽△FOD，
∴
，即
，解得OM=
，
∴M（-，0），且D（4，0），
∴G（
，0），
设N点坐标为（x，y），则
，
，
解得x=，y=-，此时N点坐标为（，-）；
②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，
则有△FOD∽△DOM，
∴
，即
，解得OM=6，
∴M（0，-6），且F（0，），
∴MG=MF=
，则OG=OM-MG=6-=
，
∴G（0，-），
设N点坐标为（x，y），则
=0，
，
解得x=-4，y=-，此时N（-4，-）；
③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如图3，
∵四边形MFND为矩形，
∴NF=OD=4，ND=OF=，
可求得N（4，）；
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，-）或（-4，-）或（4，）．
