题目内容
（2010•滨湖区一模）如图，抛物线y=
x2+mx+n交x轴于A、B两点，直线y=kx+b经过点A，与这条抛物线的对称轴交于点M（1，2），且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称．（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）设题中的抛物线与直线的另一交点为C，已知P为线段AC上一点（不含端点），过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，试证明：当P为AC的中点时，线段PQ的长取得最大值，并求出PQ的最大值；
（3）设D、E为直线AC上的两点（不与A、C重合），且D在E的左侧，DE=2
，过点D作DF⊥x轴交抛物线于点F，过点E作EG⊥x轴交抛物线于点G．问：是否存在这样的点D，使得以D、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）由于点M和抛物线顶点关于x轴对称，即可得到点N的坐标，进而表示出该抛物线的顶点坐标式函数解析式．
（2）根据（1）所得抛物线的解析式，可得到点A的坐标，进而可求出直线AC的解析式，设出点P的横坐标，根据直线AC和抛物线的解析式，即可得到P、Q的纵坐标，从而得到关于PQ的长和P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ的最大值及对应的P点坐标，然后判断此时的P点是否为AC的中点即可．
（3）由直线AC的斜率可得∠CAB=45°，因此D、E的横坐标差为2，可设出点D的横坐标，即可得到点E的横坐标，进而可参照（2）的方法求得DF、EG的长，若以D、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形，那么必须满足DE=FG，由此可求得点D的坐标．需要注意的是：在表示DE、FG的长时，要分三种情况考虑：
①点D在线段CA的延长线上，E在线段AC上，②D、E都在线段AC上，③点E在线段AC的延长线上，D在线段AC上．
解答：解：（1）由题意知，抛物线顶点N的坐标为（1，-2），（1分）
∴其函数关系式为y=
（x-1）2-2=
x2-x-
．（3分）
（2）由
x2-x-
=0
得x=-1或3，即A（-1，0）、B（3，0）；
由A（-1，0）、M（1，2）可得直线AC的函数关系式为y=x+1，（4分）
设P（t，t+1），则Q的坐标为（t，
t2-t-
）；（5分）
∴PQ=（t+1）-（
t2-t-
）=-
t2+2t+
=-
（t-2）2+
，（6分）
∵a=-
＜0
∴当t=2时，PQ有最大值为
，
即P点运动至AC的中点时，PQ长有最大值为
．（7分）
（3）由直线AC的函数关系式为y=x+1可知：∠CAB=45°，则D、E的横坐标差为2；
设点D（x，x+1），E（x+2，x+3），则：F（x，
x2-x-
），G（x+2，
x2+x-
）；
由于DF∥EG，若以D、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形，则DF=EG；
①当点D在线段CA的延长线上，点E在线段AC上时；
DF=
x2-x-
-（x+1）=
x2-2x-
，EG=x+3-（
x2+x-
）=-
x2+
；
由于DF=EG，则
x2-2x-
=-
x2+
，
解得x=1±2
；
由于x＜0，则D（1-2
，2-2
）；
②当点D、E都在线段AC上时；
DF=-
x2+2x+
，EG=-
x2+
；
同①可得：-
x2+2x+
=-
x2+
，
解得x=1；
故D（1，2）；
③当点D在线段AC上，E点在线段AC的延长线上时，
DF=
x2-x-
-（x+1）=
x2-2x-
，EG=x+3-（
x2+x-
）=-
x2+
；
由于DF=EG，则
x2-2x-
=-
x2+
，
解得x=1±2
；
由于x＞0，则D（1+2
，2+2
）；
符合条件的点共有3个，分别为D1（1，2），D2（1-2
，2-2
），D3（1+2
，2+2
）．（11分）
（第（3）小题得出1解得（2分），2解得（3分），3解得4分）
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、二次函数最值的应用、平行四边形的判定和性质等知识，同时考虑了分类讨论的数学思想，难度较大．
（2）根据（1）所得抛物线的解析式，可得到点A的坐标，进而可求出直线AC的解析式，设出点P的横坐标，根据直线AC和抛物线的解析式，即可得到P、Q的纵坐标，从而得到关于PQ的长和P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ的最大值及对应的P点坐标，然后判断此时的P点是否为AC的中点即可．
（3）由直线AC的斜率可得∠CAB=45°，因此D、E的横坐标差为2，可设出点D的横坐标，即可得到点E的横坐标，进而可参照（2）的方法求得DF、EG的长，若以D、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形，那么必须满足DE=FG，由此可求得点D的坐标．需要注意的是：在表示DE、FG的长时，要分三种情况考虑：
①点D在线段CA的延长线上，E在线段AC上，②D、E都在线段AC上，③点E在线段AC的延长线上，D在线段AC上．
解答：解：（1）由题意知，抛物线顶点N的坐标为（1，-2），（1分）
∴其函数关系式为y=
（x-1）2-2=x2-x-．（3分）（2）由
x2-x-=0得x=-1或3，即A（-1，0）、B（3，0）；
由A（-1，0）、M（1，2）可得直线AC的函数关系式为y=x+1，（4分）
设P（t，t+1），则Q的坐标为（t，
t2-t-）；（5分）∴PQ=（t+1）-（
t2-t-）=-t2+2t+=-（t-2）2+，（6分）∵a=-
＜0 ∴当t=2时，PQ有最大值为
，即P点运动至AC的中点时，PQ长有最大值为
．（7分）（3）由直线AC的函数关系式为y=x+1可知：∠CAB=45°，则D、E的横坐标差为2；
设点D（x，x+1），E（x+2，x+3），则：F（x，
x2-x-），G（x+2，x2+x-）；由于DF∥EG，若以D、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形，则DF=EG；
①当点D在线段CA的延长线上，点E在线段AC上时；
DF=
x2-x--（x+1）=x2-2x-，EG=x+3-（x2+x-）=-x2+；由于DF=EG，则
x2-2x-=-x2+，解得x=1±2
；由于x＜0，则D（1-2
，2-2）；②当点D、E都在线段AC上时；
DF=-
x2+2x+，EG=-x2+；同①可得：-
x2+2x+=-x2+，解得x=1；
故D（1，2）；
③当点D在线段AC上，E点在线段AC的延长线上时，
DF=
x2-x--（x+1）=x2-2x-，EG=x+3-（x2+x-）=-x2+；由于DF=EG，则
x2-2x-=-x2+，解得x=1±2
；由于x＞0，则D（1+2
，2+2）；符合条件的点共有3个，分别为D1（1，2），D2（1-2
，2-2），D3（1+2，2+2）．（11分）（第（3）小题得出1解得（2分），2解得（3分），3解得4分）
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、二次函数最值的应用、平行四边形的判定和性质等知识，同时考虑了分类讨论的数学思想，难度较大．
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