Question

如图，直线l₁∥l₂，⊙O与l₁和l₂分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l₁和l₂上的动点，MN沿l₁和l₂平移，若⊙O的半径为1，∠AMN=60°，则下列结论不正确的是（　　）

• A、l₁和l₂的距离为2
• B、当MN与⊙O相切时，AM=

  3

• C、MN=

  4

  3

  3

• D、当∠MON=90°时，MN与⊙O相切

Answer 1

分析：连结OA、OB，根据切线的性质和l₁∥l₂得到AB为⊙O的直径，则l₁和l₂的距离为2；当MN与⊙O相切，连结OM，ON，当MN在AB左侧时，根据切线长定理得∠AMO=∠AMN=30°，在Rt△AMO中，利用正切的定义可计算出AM=

3

，在Rt△OBN中，由于∠ONB=∠BNM=60°，可计算出BN=

3

3

，当MN在AB右侧时，AM=

3

3

，所以AM的长为

3

或

3

3

；当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l₁于F，易证得Rt△OAF≌Rt△OBN，则OF=ON，于是可判断MO垂直平分NF，
所以OM平分∠NOF，根据角平分线的性质得OE=OA，然后根据切线的判定定理得到MN为⊙O的切线．

解答：解：连结OA、OB，如图1，
∵⊙O与l₁和l₂分别相切于点A和点B，
∴OA⊥l₁，OB⊥l₂，
∵l₁∥l₂，
∴点A、O、B共线，
∴AB为⊙O的直径，
∴l₁和l₂的距离为2；
作NH⊥AM于H，如图1，
则MN=AB=2，
∵∠AMN=60°，
∴sin60°=

NH

MN

，
∴MN=

2

3 2

=

4 3

3

；
当MN与⊙O相切，如图2，连结OM，ON，
当MN在AB左侧时，∠AMO=∠AMN=

1

2

×60°=30°，
在Rt△AMO中，tan∠AMO=

OA

AM

，即AM=

1

3 3

=

3

，
在Rt△OBN中，∠ONB=∠BNM=60°，tan∠ONB=

OB

BN

，即BN=

1

3

=

3

3

，
当MN在AB右侧时，AM=

3

3

，
∴AM的长为

3

或

3

3

；
当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l₁于F，如图2，
∵OA=OB，
∴Rt△OAF≌Rt△OBN，
∴OF=ON，
∴MO垂直平分NF，
∴OM平分∠NOF，
∴OE=OA，
∴MN为⊙O的切线．
故选B．

点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．