Question

（2012•太原一模）如图，直线l1：y1=

3

x+

3

与直线l2：y2=-

3

x+3

3

相交于点C，直线l₁交x轴于点A，交y轴于点D，直线l₂交x轴于点B．
（1）求点C的坐标；
（2）连接BD，将△ABD沿x轴向右平移得到△A₁B₁D₁，在平移过程中△A₁B₁D₁与△ABD重叠部分的面积记作S．设平移的距离为x（0≤x≤4），求S）与x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）把直线y₁与y₂联立组成方程组，解方程组即可求出点C的坐标；
（2）作出平移后的三角形，得到△OEB，作出△OEB的高EF，根据△OBE∽△ABD，得到EF的表达式，再求出OB的表达式，根据三角形的面积公式解答即可．

解答：解：（1）把直线y₁与y₂联立组成方程组得，

y= 3 x+ 3 y=- 3 x+3 3

，
解得

x=1 y=2 3

．
则C点坐标为（1，2

3

）．
（2）过点C作CH⊥x轴于点H，过点B作BF⊥BE于点F，
则CH=2

3

，OH=1，
∵直线l1：y1=

3

x+

3

与直线l2：y2=-

3

x+3

3

相交于点C，直线l₁交x轴于点A，交y轴于点D，直线l₂交x轴于点B．
∴A（-1，0），B（3，0），D（0，

3

），
∴OB=3，
∴BH=2，
∴tan∠ABC=

2 3

2

=

3

，tan∠ABD=

OD

OB

=

3

3

，
∴∠ABC=60°，∠ABD=30°，
∴∠B₁EB=30°，
∴∠B₁EB=∠ABD，
∴BB₁=BE=x，
∴BF=

1

2

BB₁=

1

2

x，B₁F=

3

2

x，
∴B₁E=

3

x，
∴S_△B1BE=

1

2

B₁E•BF=

3

4

x²，
∵S_△A1B1D1=S_△ABD=

1

2

×4×

3

=2

3

，
∴S=2

3

-

3

4

x²．

点评：本题考查了一次函数综合题，涉及函数与x轴、y轴的交点问题及函数的交点与方程组的解的关系，难度较大，要认真解答．