Question

2．如图，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点O是边BC上的动点，以点O为圆心，OB为半径作圆O，交AB边于点D，过点D作∠ODP=∠B，交边AC于点P，交圆O与点E．设OB=x．
（1）当点P与点C重合时，求PD的长；
（2）设AP-EP=y，求y关于x的解析式及定义域；
（3）联结OP，当OP⊥OD时，试判断以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆O的位置关系．

Answer 1

分析 （1）如图1中，首先求出cos∠B，cos∠A，如图2中，当点P与C重合时，只要证明PA=PD即可；
（2）如图2中，作CG⊥AB于G，OH⊥BD于H．分两种情形①当$\frac{11}{6}$≤x≤$\frac{625}{234}$时，如图4中．②当$\frac{625}{234}$＜x＜$\frac{25}{6}$时，如图5中，作PG⊥AB于G．
（3）如图6中，连接OP．根据cos∠C=cos∠B=$\frac{PC}{OC}$=$\frac{3}{5}$，列出方程，求出两圆的半径，圆心距即可判断．

解答 解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H，CG⊥AB于G，

∵AB=AC=5，AH⊥BC，
∴BH=CH=3，AH=4，
∵$\frac{1}{2}$•BC•AH=$\frac{1}{2}$•AB•CG，
∴CG=$\frac{24}{5}$，AG=$\sqrt{A{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∴cos∠B=$\frac{3}{5}$，cos∠BAC=$\frac{7}{25}$，
如图2中，当点P与C重合时，

∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB=∠ACB，
∵∠ADO=∠B+∠BOD=∠CDO+∠ADP，∠ODP=∠B，
∴∠ADP=∠BOD=∠BAC，
∴PA=PD=5；
（简单解法：易知∠A=180°-2∠B，只要证明∠ADP=180°-2∠B即可解决问题）

（2）如图2中，作CG⊥AB于G，OH⊥BD于H．
∵AD=2AG=$\frac{14}{5}$，
∵BD=2BH=2OB•cos∠B=$\frac{6}{5}$x，
∴$\frac{6}{5}$x+$\frac{14}{5}$=5，
∴x=$\frac{11}{6}$，
如图3中，当P、E重合时，作EG⊥AD于G．

根据对称性可知，B、E关于直线OD对称，
∴DB=DE=AE=$\frac{6}{5}$x，
∵cos∠A=$\frac{7}{25}$=$\frac{AG}{AE}$，
∴$\frac{\frac{5-\frac{6}{5}x}{2}}{\frac{6}{5}x}$=$\frac{7}{25}$，
解得x=$\frac{625}{234}$，
当点D与A重合时$\frac{6}{5}$x=5，
∴x=$\frac{25}{6}$，
当$\frac{11}{6}$≤x≤$\frac{625}{234}$时，如图4中，

∵y=PA-PE=PD-PE=DE=BD=$\frac{6}{5}$x，
∴y=$\frac{6}{5}$x，
当$\frac{625}{234}$＜x＜$\frac{25}{6}$时，如图5中，作PG⊥AB于G．

∵BD=DE=$\frac{6}{5}$x，DG=AG=$\frac{1}{2}$（5-$\frac{6}{5}$x），
∴AP=AG÷cos∠A=$\frac{25}{14}$（5-$\frac{6}{5}$x），
∴y=AP-EP=$\frac{25}{14}$（5-$\frac{6}{5}$x）-[$\frac{6}{5}$x-$\frac{25}{14}$（5-$\frac{6}{5}$x）]=-$\frac{192}{35}$x+$\frac{125}{7}$，
综上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6}{5}x}&{（\frac{11}{6}≤x≤\frac{625}{234}）}\\{-\frac{192}{35}x+\frac{125}{7}}&{（\frac{625}{234}＜x＜\frac{25}{6}）}\end{array}\right.$．

（3）如图6中，连接OP．

连接OP，作DK⊥OB，ON⊥BD、PM⊥BC于M，设ON=4k，则易知OB=DO=5k．BN=DN=3k，
DK=$\frac{BD•ON}{OB}$=$\frac{24}{5}$k，OP=$\frac{20}{3}$k，
由△DOK∽△OPM可得OM=$\frac{32}{5}$k，PM=$\frac{28}{15}$k，可得PC=$\frac{7}{3}$k，
∵OD+PC=5k+$\frac{7}{3}$k=$\frac{22}{3}$k＞$\frac{20}{3}$k，
∴以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆O的位置关系是相交．

点评 本题考查圆综合题、锐角三角函数、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是寻找特殊点解决问题，学会构建方程的解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．