Question

如图，一次函数y=

2

3

x+2的图象与反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象相交于A，B两点，且与两坐标轴分别相交于C，D两点，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E，OD是△ACE的中位线．求：
（1）反比例函数的表达式；
（2）△ABO的面积．

Answer 1

分析：（1）由一次函数y=

2

3

x+2的图象与两坐标轴分别相交于C，D两点，即可求得点C与D的坐标，又由OD是△ACE的中位线，即可求得点A的纵坐标，继而求得点A的坐标，则可求得反比例函数的表达式；
（2）联立两个函数的解析式，即可求得点B的坐标，然后由S_△ABO=S_△AOD+S_△BOD求得答案．

解答：解：（1）∵一次函数y=

2

3

x+2的图象与两坐标轴分别相交于C，D两点，
∴点C的坐标为：（-3，0），点D的坐标为：（0，2），
∴OD=2，
∵OD是△ACE的中位线，
∴AE=4，
即点A的纵坐标为4，
将y=4代入一次函数y=

2

3

x+2，
即

2

3

x+2=4，
解得：x=3，
∴点A的坐标为：（3，4），
∴反比例函数的表达式为：y=

12

x

；

（2）联立一次函数与反比例函数的解析式，得：

y= 2 3 x+2 y= 12 x

，
解得：

x=3 y=4

或

x=-6 y=-2

，
∴点B的坐标为：（-6，-2），
∴S_△ABO=S_△AOD+S_△BOD=

1

2

×2×3+

1

2

×2×6=9．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、点与函数的关系以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．