Question

如图，△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）AB与DF有何位置关系？请说明理由；
（3）求：的值．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACD=90°，CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠CAD+∠CDA=90°，∠CDE+∠BCF=90°，
∴∠CAD=∠BCF，
∵BF∥AC，∠ACB=90°，
∴∠CBF=90°=∠ACD，
在△ACD和△CBF中

∴△ACD≌△CBF，
∴CD=BF，
∵D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴BD=BF；

（2）解：AB垂直平分DF，
理由是：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵∠CBF=90°，
∴∠FBA=45°=∠CBA，
∵BD=BF，
∴AB垂直平分DF；

（3）解：设CD=BD=BF=x，
则AC=BC=2x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD==x，
在Rt△DBF中，由勾股定理得：DF==x，
则==．
分析：（1）求出∠CAD=∠BCF，∠CBF=∠ACD，证△ACD≌△CBF，推出CD=BF即可；
（2）求出∠CBA=∠FBA，根据等腰三角形的性质得出即可；
（3）设CD=BD=BF=x，得出AC=BC=2x，根据勾股定理求出AD、DF，即可得出答案．
点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形性质的应用，主要考查了学生的推理能力，综合性比较强，有一定的难度．