题目内容

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积。小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为       ；

（2）求正方形MNPQ的面积。参考小明思考问题的方法，解决问题：

（3）如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若，则AD的长为       。

 

【答案】

（1）a

（2）∵△RQF，△SMG，△TNH，△WPE四个全等的等腰直角三角形面积和为，正方形ABCD的面积为，∴。

（3）

【解析】（1）由△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形可知△AER，△BFS，△CGT，△DHW也是全等的等腰直角三角形，从而得新的正方形的边长FR=FA＋AR=FA＋AE=FA＋BF=a。

（2）由正方形ABCD的面积等于△RQF，△SMG，△TNH，△WPE四个全等的等腰直角三角形面积和可知。

（3）如图，延长DP交BC于点H，

由可求得等边△RPQ的边长。

设等边△ABC的边长为a，AD=BE=CF=x，则BD=CE=。

由等边三角形的性质和含30度角直角三角形的性质，得

DH=，BH=，EH=，

PH=，DR=EP=。

由DH=DR＋RP＋PH得：，

解得，即AD的长为。

 

练习册系列答案
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小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．

小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E，使得OE=CO，连接BE，可证△OBE≌△OAD，从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．
请你回答：图2中△BCE的面积等于
2
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．
请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：
如图3，已知△ABC，分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI，连接EG、FH、ID．
（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
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．
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（1）在图3中画出一个和△ABC面积相等的新的旋转对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC的面积为a，则图3中△FGH的面积为
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a
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．
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小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为
a
a
；
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=
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，则AD的长为
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．
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（I）请你回答：图2中△BCE的面积等于
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．
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．
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（1）直接写出S1=
19a
19a
（用含字母a的式子表示）．
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