Question

如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．

（1）求证：△ADE∽△BCE；

（2）如果AD²=AE•AC，求证：CD=CB．

　

Answer 1

【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE；

（2）由AD²=AE•AC，可得，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，以求得AC⊥BD，由垂径定理即可证得CD=CB．

【解答】证明：（1）如图，∵∠A与∠B是对的圆周角，

∴∠A=∠B，

又∵∠1=∠2，

∴△ADE∽△BCE；

（2）如图，

∵AD²=AE•AC，

∴，

又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACD，

∴∠AED=∠ADC，

又∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

 即∠AED=90°，

∴直径AC⊥BD，

∴=，

∴CD=CB．

【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．