Question

【题目】如图，抛物线经过点，，直线：交轴于点，且与抛物线交于，两点，为抛物线上一动点（不与，重合）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点在直线下方时，过点作轴交于点，轴交于点，求的最大值.

（3）设为直线上的点，以，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，的最大值是；（3）能，点的坐标为，，或.

【解析】

（1）把B（3，0），C（0，2）代入解方程组即可得到结论；

（2）设P（m，），得到N（m，），，由两点间的距离公式得到关于m的二次函数，根据二次函数的性质即可得到结论；

（3）求得E（0，），得到CE＝，设P（m，），①以CE为边，根据CE＝PF，列方程得到m＝1，m＝0（舍去），②以CE为对角线，连接PF交CE于G，CG＝GE，PG＝FG，得到G（0，），设P（m，），则F（m，），列方程得到此方程无实数根，于是得到结论．

解：（1）把，代入得，

∴.

∴抛物线的解析式为：.

（2）设，

∵轴，轴，，在直线上，

∴，，

∴

，

∴当时，的最大值是；

（3）能，

理由：∵交y轴于点E，

∴E（0，），

∴CE＝，

设P（m，），

若以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形，

①以CE为边，∴CE∥PF，CE＝PF，

∴F（m，），

∴或，

∴m1＝1，m2＝0（舍去），m3＝，m4＝，

∴F1（1，），F2（），F3（），

②以CE为对角线，连接PF交CE于G，

∴CG＝GE，PG＝FG，

∴G（0，），

设P（m，），则F（m，），

∴×（，

∴m＝1，m＝0（舍去），

F4（1，0），

综上所述点的坐标为，，或.