题目内容

有两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边长均为6）如图1所示叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转，旋转角α满足0＜α°＜90°，四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分（如图2）．
（1）在上述旋转过程中，①BH与CK有怎样的数量关系？②四边形CHGK的面积是否发生变化？并证明你发现的结论．
（2）如图3，连接KH，在上述旋转过程中，是否存在某一位置使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
518
？若存在，请求出此时KC的长度；若不存在，请说明理由．
精英家教网
分析：（1）利用旋转的性质，图形的形状和大小不变，可以得到角的度数没有变化，进一步可以得到∠BGH=∠CGK，得证△BGH≌△CGK，则全等三角形的对应边相等；全等三角形的性质得到：全等三角形的面积相等，则四边形CHGK的面积等于△BGC的面积，所以四边形CHGK的面积不变；
（2）根据面积公式得出S△GHK=S四边形CKGH-S△CKH=
1
2
x2-3x+9，根据△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
5
18
，代入得出方程
1
2
x2-3x+9=
5
18
×
1
2
×6×6，求出即可．
解答：精英家教网解：（1）①在上述旋转过程中，BH=CK．理由如下：
如图1，∵△ABC为等腰直角三角形，G（O）为其斜边中点，
∴CG=BG，CG⊥AB，且S△BCG=
1
2
S△ABC．
如图2，连接CG．
∵∠ACG=∠B=45°，∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH=∠CGK．
∵在△BGH和△CGK中，
∠B=∠ACG=45°
BG=CG
∠BGH=∠CGK

∴△BGH≌△CGK（ASA）．
∴BH=CK；
②在上述旋转过程中，四边形CHGK的面积不变．理由如下：
由①知，△BGH≌△CGK．则S△BGH=S△CGK．
∴S四边形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=S△BCG=
1
2
S△ABC=
1
2
×
1
2
×6×6=9．
即：旋转过程中，BH=CK，S四边形CHGK的面积为9，是一个定值，在旋转过程中没有变化；

（2）假设存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
5
18
的位置．
如图3，设BH=x，由题意及（1）中结论可得，CK=BH=x，CH=CB-BH=6-x，
∴S△CHK=
1
2
CH×CK=3x-
1
2
x2，
∴S△GHK=S四边形CKGH-S△CKH=9-（3x-
1
2
x2）=
1
2
x2-3x+9，
∵△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
5
18
，
∴
1
2
x2-3x+9=
5
18
×
1
2
×6×6，
解得x1=2，x2=4（经检验，均符合题意）．            
∴存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
5
8
的位置，此时x的值为2或4．
点评：本题考查了旋转的性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，但是一道比较好的题目
练习册系列答案
相关题目
6、如图，△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠F=90°，BC分别与AF，AG相交于点D，E．则图中不全等的相似三角形有（　　）
17、用两个全等的等腰直角三角形拼下列图形：①等腰三角形；②等边三角形；③正方形；④等腰梯形．一定可以拼成的图形有（　　）

有两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG其直角边长均为6（如图1所示）叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转，旋转角满足0＜º＜90º，四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分（如图2）．

（1）在上述旋转过程中，①BH与CK有怎样的数量关系？②四边形CHGK的面积是否发生变化？并证明你发现的结论．
（2）如图，连接KH，在上述旋转过程中，是否存在某一位置使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，请求出此时KC的长度；若不存在，请说明理由．

有两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG其直角边长均为6（如图1所示）叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转，旋转角满足0＜º＜90º，四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分（如图2）．

（1）在上述旋转过程中，①BH与CK有怎样的数量关系？②四边形CHGK的面积是否发生变化？并证明你发现的结论．

（2）如图，连接KH，在上述旋转过程中，是否存在某一位置使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，请求出此时KC的长度；若不存在，请说明理由．

 

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网