Question

抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点C（0，-2），与直线y=x交于点A（-2，-2），B（2，2）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，线段MN在线段AB上移动（点M与点A不重合，点 N与点B不重合），且，若M点的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q，以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由。

Answer 1

解：（1）抛物线过点C（0，-2）可得c=-2， 把点A（-2，-2），B（2，2）代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为：；
（2）∵MN=，点A，B都在直线y=x上，MN在线段AB上，M的横坐标为m， 如图1，过点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线，它们相交于点H， ∴△MHN是等腰直角三角形， ∴MH=NH=1， ∴点N的坐标为（m+1，m+1）； ① 如图2，当m<0时，PM=-m， ， 当四边形PMQN为平行四边形时，PM=NQ， ∴， 解得（舍去），； ②如图3，当m>0时，PM=m， ， 当四边形PMNQ为平行四边形时，PM=NQ， ∴， 解得（舍去），， ∴当或时，以点P，M，N，Q为顶点的四边形为平行四边形。