题目内容

在平面直角坐标系中，直线AB与x的轴、y轴分别交于A（ 3，0 ），B（ 0， $数学公式$ ）两点，C为线段AB上一动点，过C作CD⊥x轴于点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点C的横坐标为2时，求四边形OBCD的面积；
（3）在x轴的负半轴、y轴的负半轴上是否存在点E、F，使得△EOF与△AOB全等？若存在，直接写出点E、点F的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴直线AB解析式为y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；

（2）将x=2代入直线AB解析式得：y= $\text{[math]}$ ，即CD= $\text{[math]}$ ，
∵OB= $\text{[math]}$ ，OD=2，
∴S_梯形OBCD= $\text{[math]}$ OD•（CD+OB）= $\text{[math]}$ ×2×（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；

（3）存在，
分两种情况考虑：当OE₁=OB= $\text{[math]}$ ，OF₁=OA=3，∠E₁OF₁=∠BOA=90°时，△E₁OF₁≌△BOA，
此时E₁（- $\text{[math]}$ ，0），F₁（0，-3）；
当OE₂=OA=3，OB=OF₂= $\text{[math]}$ ，∠E₂OF₂=∠AOB=90°时，△E₂OF₂≌△AOB，
此时E₂（-3，0），F₂（0，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AB解析式；
（2）将x=2代入直线AB解析式求出y的值，确定出C坐标，得到CD与OD的长，利用梯形面积公式即可求出梯形OBCD的面积；
（3）存在，分两种情况考虑：当OE=OB= $\text{[math]}$ ，OF=OA=3时，利用SAS可得出△EOF与△AOB全等；当OE=OA=3，OB=OF= $\text{[math]}$ 时，利用SAS可得出△EOF与△AOB全等，求出E与F坐标即可．
点评：此题考查了一次函数解析式，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，全等三角形的判定与性质，以及梯形的面积，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．