Question

如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为AB上一动点，连接DB、DP，AE⊥DP于E．
（1）如图①，若P为AB的中点，则

BF

DF

=

 

；

BF

AC

=

 

；
（2）如图②，若

AP

BP

=

1

2

时，证明AC=4BF；
（3）如图③，若P在BA的延长线上，当

BF

AC

=

 

时，

AP

AB

=

1

3

．

Answer 1

分析：（1）延长AF交BC于M，证△ABM≌△DAP，得BM=AP，再根据△MBF∽△ADF对应边成比例列出比例式

BF

DF

=

BM

AD

=

BF

FD

，然后再根据正方形的边长相等，对角线相等进行转化即可求解；
（2）先根据已知条件求出

AP

AB

=

1

3

，然后同（1）的方法作出辅助线即可进行证明；
（3）同前两小题的思路，延长CB交AF于点M，然后同（1）的求解思路进行求解计算．

解答：解：（1）延长AF交BC于M，
∴∠BAM+∠AMB=90°
∵AE⊥DP，
∴∠BAM+∠DPA=90°，
∴∠AMB=∠DPA，
在△ABM≌△DAP中，

∠AMB=∠DPA ∠ABC=∠DAP AB=AD

，
∴△ABM≌△DAP（AAS），
∴AP=BM（全等三角形对应边相等），
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，
∴△MBF∽△ADF，
∴

BF

DF

=

BM

AD

，
∵点P是AB的中点，
∴AP=BM=

1

2

AB=

1

2

AD，
∴

BF

DF

=

BM

AD

=

BF

FD

=

1

2

，
∴

BF

FD+BF

=

1

1+2

=

1

3

，
即

BF

FD

=

1

3

，
又∵AC=BD，
∴

BF

AC

=

1

3

；
故答案为：

1

2

，

1

3

；

（2）∵

AP

BP

=

1

2

，
∴

AP

AP+BP

=

1

1+2

=

1

3

，
即

AP

AB

=

1

3

，
方法同（1），延长AF交BC于M，
则

BM

AD

=

AP

AB

=

BF

FD

=

1

3

，
∴

BF

BF+FD

=

1

1+3

=

1

4

，
即

BF

BD

=

1

4

，
∵正方形的对角线AC=BD，
∴

BF

AC

=

1

4

，
∴AC=4BF；

（3）延长CB交AF于点M，方法同（1）可得

BM

AD

=

AP

AB

=

1

3

，
∴

BF

FD

=

1

3

，
∴

BF

FD-BF

=

1

3-1

，
即

BF

BD

=

1

2

，
∵正方形的对角线AC=BD，
∴

BF

AC

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质，此类题目往往是后面的小题的解题思路继续沿用第（1）小题的思路，所以找准第（1）小题的求解思路很重要．