Question

如图，AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，且CD，AB的长分别是一元二次方程x²-7x+12=0的两根，则tan∠DPB=________．

Answer 1

分析：连接BD，通过解方程可求得CD、AB的值，进而可利用△ABP∽△CDP得到cos∠BPD的值．设出PD、PB的值，利用勾股定理可表示出BD，进而可求得∠DPB的正切值．
解答：解：连接BD，则∠ADB=90°．
解方程x²-7x+12=0，可得x=3，x=4．
由于AB＞CD，所以AB=4，CD=3．
由圆周角定理知：∠C=∠A，∠CDA=∠ABP．
故△CPD∽△APB，得=．
设PD=3x，则BP=4x．
在Rt△PBD中，由勾股定理得：BD==x．
故tan∠DPB==．
点评：此题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，正确地构造出直角三角形是解题的关键．