题目内容

如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线=ax²+bx+c（a≠0）经过C、D、B三点．注：抛物线的顶点坐标为
（- $数学公式$ ， $数学公式$ ）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为P，△PAB的面积；
（3）在抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意C（-2，0），D（0，4），
则可设抛物线的解析式y=ax²+bx+4，
依题意 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ x²+x+4，
答：抛物线的解析式是y=- $\text{[math]}$ x²+x+4．

（2）由（1）得P（1， $\text{[math]}$ ），
连接PA、PB过点P作PE⊥Y轴于点E
则S_△PAB=S_{四边形PEOB}-S_△PEA-S_△AOB=6，
答：△PAB的面积是6．

（3）设存在点M，其坐标为M（x，y），则 $\text{[math]}$ |y|×6=6，
∴y=±2，
当y=2时，- $\text{[math]}$ x²+x+4=2，解得：x=1± $\text{[math]}$ ，
当y=-2时，- $\text{[math]}$ x²+x+4=-2，解得：x=1± $\text{[math]}$ ，
∴存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积，其坐标为：
M₁（1+ $\text{[math]}$ ，2），M₂（1- $\text{[math]}$ ，2），M₃（1+ $\text{[math]}$ ，-2），M₄（1- $\text{[math]}$ ，-2）．
答：在抛物线上存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积，点M的坐标是
M₁（1+ $\text{[math]}$ ，2），M₂（1- $\text{[math]}$ ，2），M₃（1+ $\text{[math]}$ ，-2），M₄（1- $\text{[math]}$ ，-2）．
分析：（1）由题意C（-2，0），D（0，4），设抛物线的解析式y=ax²+bx+4，代入得到方程组 $\text{[math]}$ ，求出方程组的解即可；
（2）由（1）得P（1， $\text{[math]}$ ），连接PA、PB过点P作PE⊥Y轴于点E，根据S_△PAB=S_{四边形PEOB}-S_△PEA-S_△AOB即可求出答案；
（3）设存在点M，其坐标为M（x，y），则 $\text{[math]}$ |y|×6=6得出y=±2，代入解析式即可求出x，即可得到答案．
点评：本题主要考查对解一元二次方程，解二元一次方程组，三角形的面积，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．