Question

【题目】如图，四边形是矩形

(1)如图1，、分别是、上的点，，垂足为，连接．

①求证：；

②若为的中点，求证：；

(2)如图2，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在边的点处，连接交于点，是的中点.若，，直接写出的最小值为 ．

Answer 1

【答案】(1) ①见解析；②见解析；(2)

【解析】

（1）①证明△FBC∽△ECD可得结论．

②想办法证明∠AEB＝∠AGB，可得sin∠AGB＝sin∠AEB＝．

（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．因为四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，所以PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，推出BP＝PS，由∠BCS＝90°，推出PC＝PS＝PB，推出PQ+PS＝PT+PC，当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小．

（1）①证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠CDE＝∥BCF＝90°，

∵BF⊥CE，

∴∠BGC＝90°，

∴∠BCG+∠FBC＝∠BCG+∠ECD＝90°，

∴∠FBC＝∠ECD，

∴△FBC∽△ECD，

∴．

②证明：如图1中，连接BE，GD．

∵BF⊥CE，EG＝CG，

∴BF垂直平分线段EC，

∴BE＝CB，∠EBG＝∠CBG，

∵DG＝CG，

∴∠CDG＝∠GCD，

∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠BCG+∠ECD＝90°，

∴∠ADG＝∠BCG，

∵AD＝BC，

∴△ADG≌△BCG（SAS），

∴∠DAG＝∠CBG，

∴∠DAG＝∠EBG，

∴∠AEB＝∠AGB，

∴sin∠AGB＝sin∠AEB＝

（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．

∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，

∴PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，

∴BP＝PS，

∵∠BCS＝90°，

∴PC＝PS＝PB，

∴PQ+PS＝PT+PC，

当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小，最小值＝，

∴PQ+PS的最小值为．