Question

如图，半圆O中，将一块含60°的直角三角板的60°角顶点与圆心O重合，角的两条边分别与半圆圆弧交于C，D两点（点C在∠AOD内部），AD与BC交于点E，AD与OC交于点F．
（1）求∠AEC的度数； 
（2）若C是

AD

的中点，求AF：ED的值；
（3）若AF=2，ED=4，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）如图，连接AC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠CAD=

1

2

∠COD=30°，所以∠AEC=90°-∠CAD=60°；
（2）设⊙O的半径为R，由C是

AD

的中点，根据垂径定理的推论得OC⊥AD，且∠AOC=∠COD=60°，则根据垂径定理有AF=DF，并且可判断△OAC为等边三角形，得到AC=OA=R，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CF=

1

2

R，AF=

3

2

R，则DF=

3

2

R，在Rt△ACE中，CE=

3

3

R，AE=

2 3

3

R，则EF=AE-AF=

3

6

R，所以DE=DF-EF=

3

3

R，然后计算AF：ED；
（3）连结CD，过点F作AC的垂线，垂足为H，设CE=x，根据含30度的直角三角形三边的关系得AC=

3

x，AE=2x，则EF=AE-AE=2x-2，在Rt△AFH中得到FH=1，AH=

3

，则CH=AC-AH=

3

x-

3

，再证明△CFE∽△DFC，利用相似比得到FC²=FE•FD=（2x-2）•（2x-2+4）=4x²-4，再在Rt△FCH中根据勾股定理可得到（

3

x-

3

）²+1²=4x²-4，然后解方程求出x，最后计算EF=2x-2即可．

解答：解：（1）如图，连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠COD=60°，
∴∠CAD=

1

2

∠COD=30°，
∴∠AEC=90°-∠CAD=60°；
（2）设⊙O的半径为R，
∵C是

AD

的中点，
∴OC⊥AD，∠AOC=∠COD=60°，
∴AF=DF，
∴△OAC为等边三角形，
∴AC=OA=R，
在Rt△AFC中，∠CAF=30°，
∴CF=

1

2

R，
∴AF=

3

CF=

3

2

R，
∴DF=

3

2

R，
在Rt△ACE中，CE=

3

3

AC=

3

3

R，
∴AE=2CE=

2 3

3

R，
∴EF=AE-AF=

2 3

3

R-

3

2

R=

3

6

R，
∴DE=DF-EF=

3

2

R-

3

6

R=

3

3

R，
∴AF：ED=

3

2

R：

3

3

R=3：2；
（3）连结CD，过点F作AC的垂线，垂足为H，设CE=x，
在Rt△ACE中，∠CAE=30°，
∴AC=

3

x，AE=2x，
∴EF=AE-AE=2x-2，
在Rt△AFH中，∠HAF=30°，AF=2，
∴FH=1，AH=

3

，
∴CH=AC-AH=

3

x-

3

，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠ADC，
∴∠FCE=∠CDF，
而∠CFE=∠DFC，
∴△CFE∽△DFC，
∴

FC

FE

=

FD

FC

，
即FC²=FE•FD=（2x-2）•（2x-2+4）=4x²-4，
在Rt△FCH中，∵CH²+FH²=CF²，
∴（

3

x-

3

）²+1²=4x²-4，
整理得x²+6x-8=0，解得x₁=-3+

17

，x₂=-3-

17

（舍去），
∴EF=2x-2=2（-3+

17

）-2=2

17

-8．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和等腰三角形的判定与性质；会运用勾股定理、相似比和含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．