Question

如图，一次函数y=-

2

3

x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，求过B、C两点直线的解析式．

Answer 1

分析：先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线BC的解析式．

解答：解：∵一次函数y=-

2

3

x+4中，
令x=0得：y=4；令y=0，解得x=6，
∴B的坐标是（0，4），A的坐标是（6，0）．   
如图，作CD⊥x轴于点D．
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO．
在△ABO与△CAD中，

∠BAO=∠ACD ∠BOA=∠ADC=90° AB=CA

，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴OB=AD=4，OA=CD=6，OD=OA+AD=10．
则C的坐标是（10，6）．                    
设直线BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：

10k+b=6 b=4

，
解得：

k= 1 5 b=4

，
∴直线BC的解析式是y=

1

5

x+4．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．