题目内容
已知：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从A点出发，沿AB以每秒| 3 |
交射线BC于G．（1）若E与B不重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？
（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？
（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（cm2）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？
分析：（1）连接OD，DF．那么OD⊥AC，则∠AOD=60°，∠AED=30°．由于∠DEG=90°，因此∠BEG=60°，因此本题可分两种情况进行讨论：
①当∠EDG=60°，∠DGE=30°时，∠BGD=∠BGE+∠EGD=60°．这样∠BGD和∠ACB相等，那么G和C重合．
②当∠DGE=60°时，可在直角△AOD中，根据∠A的度数和AO的长表示出AD的长，也就能表示出CD的长，由于∠A=∠AED=30°，那么AD=DE，可在直角△DEG中，用AD的长表示出DG，进而根据DG∥AB得出的关于CD，AD，DG，AB的比例关系式即可求出此时t的值．
（2）本题可先求出BG的表达式，然后令BG＞BC，即可得出G在BC延长线上时t的取值范围．
（3）由于四边形CGED不是规则的四边形，因此其面积可用△ABC的面积-△ADE的面积-△BEG的面积来求得．在前两问中已经求得AD，AE，BE，BG的表达式，那么就不难得出这三个三角形的面积．据此可求出S，t的函数关系式．根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值．
①当∠EDG=60°，∠DGE=30°时，∠BGD=∠BGE+∠EGD=60°．这样∠BGD和∠ACB相等，那么G和C重合．
②当∠DGE=60°时，可在直角△AOD中，根据∠A的度数和AO的长表示出AD的长，也就能表示出CD的长，由于∠A=∠AED=30°，那么AD=DE，可在直角△DEG中，用AD的长表示出DG，进而根据DG∥AB得出的关于CD，AD，DG，AB的比例关系式即可求出此时t的值．
（2）本题可先求出BG的表达式，然后令BG＞BC，即可得出G在BC延长线上时t的取值范围．
（3）由于四边形CGED不是规则的四边形，因此其面积可用△ABC的面积-△ADE的面积-△BEG的面积来求得．在前两问中已经求得AD，AE，BE，BG的表达式，那么就不难得出这三个三角形的面积．据此可求出S，t的函数关系式．根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值．
解答：
解：（1）连接OD，DF．
∵AC切⊙O于点D，
∴OD⊥AC．
在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=
t，
∴OD=OF=
t，AD=OA•cosA=
．
又∵∠FOD=90°-30°=60°，
∴∠AED=30°，∴AD=ED=
．
∵DE⊥EG，
∴∠BEG=60°，
△BEG与△DEG相似．
∵∠B=∠GED=90°，
①当∠EGD=30°，
CE=2BE=2（6
-
t）则∠BGD=60°=∠ACB，此时G与C重合，
DE=
=AD，CD=12-
，BE=6
-
t，
∵△BEG∽△DEC，
∴
=
，
∴
=
，
t=
；
②当∠EGD=60°．
∴DG⊥BC，DG∥AB．
在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=
，
∴DG=
t．
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，
∴AC=12，AB=6
，
∴CD=12-
．
∵DG∥AB，
∴
=
解得t=
．
答：当t为
或
时，△BEG与△EGD相似；
（2）∵AC切⊙O于点D，
∴OD⊥AC．
在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=
t，
∴∠AED=30°，∴DE⊥EG，
∴∠BEG=60°．
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6，
∴AB=6
，BE=6
-
t．
Rt△BEG中，∠BEG=60°，
∴BG=BE•tan60°=18-
t．
当0≤18-
t≤6，即
≤t≤4时，点G在线段BC上；
当18-
t＞6，即0＜t＜
时，点G在线段BC的延长线上；
（3）过点D作DM⊥AB于M．
在Rt△ADM中，∠A=30°，
∴DM=
AD=
t．
∴S=S△ABC-S△AED-S△BEG
=36
-
t2-27
t
=-
（t-
）2+
（
＜t＜4）．
所以当t=
时，s取得最大值，最大值为
．
解：（1）连接OD，DF．∵AC切⊙O于点D，
∴OD⊥AC．
在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=
| 3 |
∴OD=OF=
| ||
| 2 |
| 3t |
| 2 |
又∵∠FOD=90°-30°=60°，
∴∠AED=30°，∴AD=ED=
| 3t |
| 2 |
∵DE⊥EG，
∴∠BEG=60°，
△BEG与△DEG相似．
∵∠B=∠GED=90°，
①当∠EGD=30°，
CE=2BE=2（6
| 3 |
| ||
| 2 |
DE=
| 3t |
| 2 |
| 3t |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
∵△BEG∽△DEC，
∴
| CE |
| CD |
| BE |
| DE |
∴
2(6
| ||||||
12-
|
6
| ||||||
|
t=
| 8 |
| 3 |
②当∠EGD=60°．
∴DG⊥BC，DG∥AB．
在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=
| 3t |
| 2 |
∴DG=
| 3 |
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，
∴AC=12，AB=6
| 3 |
∴CD=12-
| 3t |
| 2 |
∵DG∥AB，
∴
| DG |
| AB |
| CD |
| AC |
| 24 |
| 7 |
答：当t为
| 8 |
| 3 |
| 24 |
| 7 |
（2）∵AC切⊙O于点D，
∴OD⊥AC．
在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=
| 3 |
∴∠AED=30°，∴DE⊥EG，
∴∠BEG=60°．
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6，
∴AB=6
| 3 |
| 3 |
3
| ||
| 2 |
Rt△BEG中，∠BEG=60°，
∴BG=BE•tan60°=18-
| 9 |
| 2 |
当0≤18-
| 9 |
| 2 |
| 8 |
| 3 |
当18-
| 9 |
| 2 |
| 8 |
| 3 |
（3）过点D作DM⊥AB于M．
在Rt△ADM中，∠A=30°，
∴DM=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
∴S=S△ABC-S△AED-S△BEG
=36
| 3 |
63
| ||
| 16 |
| 3 |
=-
63
| ||
| 16 |
| 24 |
| 7 |
72
| ||
| 7 |
| 8 |
| 3 |
所以当t=
| 24 |
| 7 |
72
| ||
| 7 |
点评：本题主要考查了直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点．
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