Question

方程

1

x

+

1

y

=

1

6

的正整数解的个数是（　　）

• A、7个
• B、8个
• C、9个
• D、10个

Answer 1

分析：首先方程

1

x

+

1

y

=

1

6

将分母，变形为（x-6）（y-6）=36，又由36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6与x，y是正整数，即可得x-6=1，y-6=36或x-6=36，y-6=1或x-6=2，y-6=18或x-6=18，y-6=2或x-6=3，y-6=12或x-6=12，y-6=3或x-6=4，y-6=9或x-6=9，y-6=4或x-6=6，y-6=6，即可求得答案．

解答：解：∵

1

x

+

1

y

=

1

6

，
∴6（x+y）=xy，
∴6y+6x=xy，
∴xy-6y-6x+36=36，
∴（x-6）（y-6）=36，
∵36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6，x，y是正整数，
∴x-6=1，y-6=36或x-6=36，y-6=1或x-6=2，y-6=18或x-6=18，y-6=2或x-6=3，y-6=12或x-6=12，y-6=3或x-6=4，y-6=9或x-6=9，y-6=4或x-6=6，y-6=6，
∴x=7，y=42或x=8，y=24或x=9，y=18或x=10，y=15或x=12，y=12或x=15，y=10或x=18，y=9或x=24，y=8或x=42，y=7．
∴方程

1

x

+

1

y

=

1

6

的正整数解的个数是9个．
故选C．

点评：此题考查了非一次不定方程的知识．解此题的关键是将方程

1

x

+

1

y

=

1

6

变形为（x-6）（y-6）=36．