Question

如图，在△ABC中，M，N分别是AB，AC边上一点，P是MN上一点，如果BM：AM=AN：CN=MP：NP，求证：S_△PBC=2S_△AMN．

Answer 1

分析：利用面积比等于相似比的平方求出三角形AMN的面积、三角形BMP的面积、三角形CNP的面积．再求出三角形PBC的面积．

解答：设BM：AM=AN：CN=MP：NP=n，
则AB：AM=n+1，AC：AN=

n+1

n

，
MN：NP=n+1，MN：MP=

n+1

n

设S_△AMN=1，∵∠MAC=∠BAC，
∴

S△ABC

S△AMN

=

AB•AC

AM•AN

=

(n+1)2

n

故S△ABC=

(n+1)2

n

又∠BMP与∠AMN互补，
∴

S△BMP

S△AMN

=

BM•MP

AM•MN

=

n2

n+1

故S△BMP=

n2

n+1

，同理可证：S△CNP=

1

n(n+1)

∴S△PBC=

(n+1)2

n

-

n2

n+1

-

1

n(n+1)

-1=2
故S_△PBC=2S_△AMN．

点评：考查了利用正弦定理计算相似三角形面积的能力．相似三角形面积之比等于相似比的平方．