Question

如图，六边形ABCDEF内接于半径为r(常数)的⊙O，其中AD为直径，且AB＝CD＝DE＝FA．

(1)当∠BAD＝75°时，求的长；

(2)求证：BC∥AD∥FE；

(3)设AB＝x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并指出x为何值时，L取得最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)连结OB、OC，由∠BAD＝75°，OA＝OB知∠AOB＝30°，　(1分) 　　∵AB＝CD，∴∠COD＝∠AOB＝30°，∴∠BOC＝120°，　(2分) 　　故的长为．　(3分) 　　(2)连结BD，∵AB＝CD，∴∠ADB＝∠CBD，∴BC∥AD，　(5分) 　　同理EF∥AD，从而BC∥AD∥FE．　(6分) 　　(3)过点B作BM⊥AD于M，由(2)知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC＝AD－2AM＝2r－2AM．　(7分) 　　∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，易得△BAM∽△DAB 　　∴AM＝＝，∴BC＝2r－，同理EF＝2r－　(8分) 　　∴L＝4x＋2(2r－)＝＝，其中0＜x＜　(9分) 　　∴当x＝r时，L取得最大值6r．　(10分)