题目内容
如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，则AP+BP的最小值为________．
3
分析：本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．
解答：
解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AN^的中点，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=3，
∴A′B=3．
∵两点之间线段最短，
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=3．
故答案为：3．
点评：考查了轴对称-最短路线问题，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．
分析：本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．
解答：
解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AN^的中点，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=3，
∴A′B=3
．∵两点之间线段最短，
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=3
．故答案为：3
．点评：考查了轴对称-最短路线问题，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．
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6、如图，把一块含有30°的直角尺ACB绕点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD，则∠BCD的度数是
如图，四边形ABCD是正方形，CE是∠BCD的外角∠DCF的平分线．
（如果需要，还可以继续操作、实验与测量）
1.操作实验：将直角尺的直角顶点P在边BC上移动（与点B、C不重合），且一直角边经过点A，另一直角边与射线CE交于点Q，不断移动P点，同时测量线段PQ与线段PA的长度，完成下列表格（精确到0.1cm）．
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| PA | PQ |
| 第一次 |
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| 第二次 |
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2.观测测量结果，猜测它们之间的关系：____________
3.请证明你猜测的结论；
4.当点P在BC的延长线上移动时，继续⑴的操作实验，试问：⑴中的猜测结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（考查猜想、证明等综合能力）
（速度单位：单位长度/秒）
（速度单位：单位长度/秒）