Question

【题目】如图，已知四边形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，DO＝BO，过点C作CE⊥AC，交BD的延长线于点E，交AD的延长线于点F，且满足∠DCE＝∠ACB．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）求证：．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【解析】

（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明∠BCD=90°，即可求解；

（2）由AD∥BC，得：，由∠ADC＝∠ACF＝90°得：,即可求解．

解：（1）证明∵AD∥BC，

∴，

∵DO＝BO，

∴AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵CE⊥AC，

∴∠ACD+∠DCE＝90°，

∵∠DCE＝∠ACB，

∴∠ACB+∠ACD＝90°，即∠BCD＝90°，

∴四边形ABCD是矩形；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，∠ADC＝90°，

∵AD∥BC，

∴，

∴，

∴，

∵∠ADC＝∠ACF＝90°，

∴，

∴．