Question

17．已知：线段AB⊥BM，垂足为B，点O和点A在直线BM的同侧，且tan∠OBM=2，AB=5，设以O为圆心，BO为半径的圆O与直线BM的另一个交点为C，直线AO与直线BM的交点为D，圆O为直线AD的交点为E．
（1）如图1，当点D在BC的延长线上时，设BC=x，CD=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
（2）在（1）的条件下，当BC=CE时，求BC的长；
（3）当△ABO是以AO为腰的等腰三角形时，求∠ADB的正切值．

Answer 1

分析 （1）过O作OF⊥BD于F，如图1，利用垂径定理得到BF=CF=$\frac{BC}{2}$=$\frac{x}{2}$，再利用正切的定义得到OF=x，然后证明△OFD∽△ABD，于是利用相似比可得到y与x的关系式；
（2）先利用勾股定理计算出OB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，再证明△DEC∽△DCO，利用相似比可得到OD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$y，则根据勾股定理得到x²+（y+$\frac{1}{2}$x）²=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$y）²，所以y=5x或y=-x（舍去），则$\frac{2{x}^{2}-5x}{10-2x}$=5x，然后解方程求出x即可；
（3）讨论：当OA=OB时，点A在⊙O上，如图2，根据圆周角定理得到AC为直径，即点D与点C重合，易得x=$\frac{5}{2}$，于是得到此时tan∠ADB=2；当AO=AB=5，如图3，作OH⊥AB于H，易得四边形OFBH为矩形，则OH=BF=$\frac{1}{2}$x，BH=OF=x，利用勾股定理得到（x-5）²+（$\frac{1}{2}$x）²=5²，然后解方程求出x，则可得到tan∠AOH=$\frac{3}{4}$，再证明∠ADB=∠AOH，从而得到tan∠ADB的值．

解答 解：（1）过O作OF⊥BD于F，如图1，则BF=CF=$\frac{BC}{2}$=$\frac{x}{2}$，
∴DF=y+$\frac{x}{2}$，
在Rt△BFO中，∵tan∠OBM=$\frac{OF}{BF}$=2，
∴OF=x，
∵AB⊥BM，
∴OF∥AB，
∴△OFD∽△ABD，
∴$\frac{OF}{AB}$=$\frac{DF}{DB}$，即$\frac{x}{5}$=$\frac{y+\frac{x}{2}}{x+y}$，
∴y=$\frac{2{x}^{2}-5x}{10-2x}$（$\frac{5}{2}$＜x＜5）；

（2）在Rt△OBF中，OB=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{2}x）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∵BC=CE，
而OB=OC=OE，
∴△OBC和△OCD为全等的等腰三角形，
∴∠OCB=∠OEC，
∴∠OCD=∠CED，
而∠CDE=∠ODC，
∴△DEC∽△DCO，
∴$\frac{CE}{OC}$=$\frac{CD}{OD}$，即$\frac{x}{\frac{\sqrt{5}x}{2}}$=$\frac{y}{OD}$，
∴OD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$y，
在Rt△OFD中，∵OF²+FD²=OD²，
∴x²+（y+$\frac{1}{2}$x）²=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$y）²，
整理得y²-4xy-5x²=0，
∴y=5x或y=-x（舍去），
∴$\frac{2{x}^{2}-5x}{10-2x}$=5x，解得x₁=0（舍去），x₂=$\frac{55}{12}$，
即BC的长为$\frac{55}{12}$；

（3）当OA=OB时，点A在⊙O上，如图2，则AC为直径，点D与点C重合，OF=$\frac{1}{2}$AB，即x=$\frac{5}{2}$，
∴tan∠ADB=$\frac{5}{\frac{5}{2}}$=2；
当AO=AB=5，如图3，作OH⊥AB于H，易得四边形OFBH为矩形，
∴OH=BF=$\frac{1}{2}$x，BH=OF=x，
在Rt△OHA中，∵AH²+OH²=OA²，
∴（x-5）²+（$\frac{1}{2}$x）²=5²，
解得x₁=0（舍去），x₂=8，
∴tan∠AOH=$\frac{AH}{OH}$=$\frac{8-5}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∵OH∥BD，
∴∠ADB=∠AOH，
∴tan∠ADB=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和等腰三角形的性质；会应用锐角三角函数和相似三角形的判定进行几何计算；学会运用分类讨论的思想解决数学问题；根据题意画出相应的几何图形是解决问题的关键．