Question

（2012•新乡模拟）如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OE长为半径的小半圆交AB于E，F两点，弦AC是小半圆的切线，D为切点，已知，AO=4，AC=4

3

，则图中阴影部分的面积等于

2

3

+

4

3

π

．

Answer 1

分析：连接OC，由垂径定理求出AD=DC=2

3

，由勾股定理求出OD=2=

1

2

AO，求出∠A=30°=∠ACO，∠AOD=60°，⊙AOC=120°，∠COB=60°，分别求出扇形AOC的面积、△AOC的面积、扇形DOF的面积、△ADO的面积、大半圆的面积，代入阴影部分的面积（S_大半圆-（S_扇形AOC-S_△AOC）-S_△ADO-S_扇形DOF）求出即可．

解答：解：
连接OC，
∵AC切小半圆于D，
∴OD⊥AC，
∴由垂径定理得：AD=DC=2

3

，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：OD=2=

1

2

AO，
∴∠A=30°=∠ACO，
∴∠AOD=60°，⊙AOC=120°，∠COB=60°，
∴扇形AOC的面积是：

120π×42

360

=

16

3

π，
△AOC的面积是

1

2

×AC×OD=

1

2

×4

3

×2=4

3

，
扇形DOF的面积是：

120π×22

360

=

4

3

π，
△ADO的面积是

1

2

×AD×OD=2

3

，
大半圆的面积是

1

2

π×4²=16π，
∴阴影部分的面积是：S_大半圆-（S_扇形AOC-S_△AOC）-S_△ADO-S_扇形DOF
=16π-（

16

3

π-4

3

）-2

3

-

4

3

π
=2

3

+

4

3

π．
故答案为：2

3

+

4

3

π．

点评：本题考查了切线性质，垂径定理，勾股定理，扇形面积，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力，题目综合性比较强，有一定的难度．