Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点A，D的坐标分别为（5，0）和（3，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）求DE所在直线的解析式；
（3）设过点C的抛物线y=2x²+bx+c（b＜0）与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得△CMG为等边三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据折叠的性质可得出BC=CD=AO=5，可在直角三角形OCD中，根据CD和OD的长用勾股定理求出OC的值．即可得出C点的坐标．
（2）本题的关键是求出E点的坐标，可设AE=x，那么BE=DE=4-x，在直角三角形DEA中，用勾股定理即可求出AE的长，也就求得了E点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DE的解析式．
（3）根据C点的坐标即可得出抛物线的待定系数中c=4，根据抛物线的和等边三角形的对称性，如果△CMG是等边三角形，G必为抛物线顶点，可据此表示出G点的坐标．设抛物线的对称轴与直线BC的交点为F，那么可根据G点的坐标和C点的坐标求出CF和FG的长，然后根据△CMG是等边三角形FG=FC，据此可求出b的值，即可确定抛物线的解析式，然后根据抛物线的解析式即可求出G点的坐标．
解答：解：（1）根据题意，得CD=CB=OA=5，OD=3，
∵∠COD=90°，
∴OC==4．
∴点C的坐标是（0，4）；

（2）∵AB=OC=4，设AE=x，
则DE=BE=4-x，AD=OA-OD=5-3=2，
在Rt△DEA中，DE²=AD²+AE²．
∴（4-x）²=2²+x²．
解之，得x=，
即点E的坐标是（5，）．
设DE所在直线的解析式为y=kx+b，
∴
解之，得
∴DE所在直线的解析式为y=x-；

（3）∵点C（0，4）在抛物线y=2x²+bx+c上，
∴c=4．
即抛物线为y=2x²+bx+c．
假设在抛物线y=2x²+bx+c上存在点G，使得△CMG为等边三角形，
根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点G一定在该抛物线的顶点上．
设点G的坐标为（m，n），
∴m=-，n==，
即点G的坐标为（-，）．
设对称轴x=-b与直线CB交于点F，与x轴交于点H．
则点F的坐标为（-b，4）．
∵b＜0，
∴m＞0，点G在y轴的右侧，
CF=m=-，FH=4，FG=4-=．（*）
∵CM=CG=2CF=-，
∴在Rt△CGF中，CG²=CF²+FG²，
（-）²=（-）²+（）²．
解之，得b=-2．
∵b＜0
∴m=-b=，n==．
∴点G的坐标为（，）．
∴在抛物线y=2x²+bx+c（b＜0）上存在点G（，），使得△CMG为等边三角形．
在（*）后解法二：Rt△CGF中，∠CGF=×60°=30度．
∴tan∠CGF==tan30度．
∴．
解之，得b=-2．
点评：本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、图形翻折变换、等边三角形的判定和性质等重要知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．