Question

点E是矩形ABCD边CD所在直线上一点，且DE=

1

3

CD，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点E重合，若AB=3，AD=4，则折痕的长为

 

．

Answer 1

分析：由DE、CD的比例关系，易求得DE的长，然后分两种情况考虑：
①E点在线段CD上，设折线为M、N，首先在Rt△ADE中，利用勾股定理求得PE的长，设折线MN与PE的交点为O，那么在Rt△PON中，可求得ON的值；然后延长PE交AD的延长线于F，根据△MOF∽△NOB来求得MO的值，从而由OM+ON得到折痕MN的长；
②E点在线段CD的延长线上，解法同上．

解答：解：如图；
由题意知：DE=

1

3

CD=1；
①当E点在线段CD上时，DE=1，CE=2；
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
BE=

BC2+CE2

=2

5

；
由于折痕MN垂直平分BE，则OB=OE=

5

；
在Rt△BON中，ON=OB•tan∠EBC=

1

2

OB=

5

2

；
延长BE至F，则DF=2DE=2，EF=

5

；
易知：△BON∽△FOM，则：

OB

OF

=

ON

OM

，即

5

2 5

=

ON

OM

，故OM=2ON；
∴MN=3ON=

3 5

2

；
②当点E在线段CD的延长线上时，DE=1，CE=4；
此时△BCE是等腰直角三角形，故N、C重合；
易得：BO=ON=OE=2

2

；
在Rt△DEF中，∠E=45°，则DF=DE=1，EF=

2

；
∴OF=OE-EF=

2

；
同①可得：

ON

OM

=

OB

OF

=

2 2

2

，即ON=2OM，
∴MN=

3

2

ON=3

2

；
综上可知：折痕MN的长为：

3 5

2

或3

2

．

点评：此题主要考查了图形的翻折变换、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，由于E点的位置不确定，因此要注意分类讨论思想的运用，以免漏解．