Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点.

(1)求证：AB与⊙O相切；

(2)若等边三角形ABC的边长是8，求线段BF的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M，证明OM等于圆的半径OD即可；

（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，则四边形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函数求得OM和BM的长，则BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，则BF即可求解．

试题解析：（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M ，

∵⊙O与AC相切于点D ，∴OD⊥AC ，∴∠ADO=∠AMO=90°，

∵△ABC是等边三角形， AO⊥BC，∴OA是∠MAD的角平分线，

∵OD⊥AC，OM⊥AB，∴OM=OD ，

∴AB与⊙O相切；

（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF ，

∵AB=AC，AO⊥BC ，

∴O是BC的中点，

∴，

在直角△ABC中，∠ABE=90°，∠MBO=60°，

∴∠OBN=30° ，

∵ON⊥BE，∠OBN=30°，OB=4，

∴， ，

∵AB⊥BE，

∴四边形OMBN是矩形，

∴，

∵，

由勾股定理得，

∴.