题目内容

如图，正方形ABCD，对角线AC与BD交于点O，点E是AB上的动点，CE交BD于点G，EK⊥CE交边AD于点K，交对角线AC于点F．
（1）若AE=BE，探索线段EK与CE的数量关系，线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．
（2）若AE=2BE，探索线段EK与CE的数量关系，线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．
（3）若AE=kBE，探索线段EK与CE的数量关系，线段EF与EG的数量关系，请直接写出结论．

【答案】分析：（1）如图1，根据正方形的性质可以求出AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=90°，由EK⊥CE交边AD于点K可以得出∠KEC=90°，通过证明△AKE∽△BEC可以得出EK与CE的数量关系，再通过证明△AFE∽BGC和△BEG∽△DCG，根据相似三角形的性质就可以得出结论．
（2）如图2，通过证明△AKE∽△BEC可以得出EK与CE的数量关系，再通过证明△AFE∽BGC和△BEG∽△DCG，根据相似三角形的性质就可以得出结论．
（3）如图3，通过证明△AKE∽△BEC可以得出EK与CE的数量关系，再通过证明△AFE∽BGC和△BEG∽△DCG，根据相似三角形的性质就可以得出结论．，
解答：解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=90°，∠EBC=∠GBC=∠ABD=∠BDC=45°．
∴∠BEC+∠BCE=45°
∵EK⊥CE，
∴∠KEC=90°．
∴∠AEK+∠BEC=90°
∴∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴．
∵AE=BE，
∴，
∴，
∴；
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴，
∴EF=GC．
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽△DCG，
∴，
∴，
∴EG=GC，
∴EF=EG；

（2）如图2，∵AE=2BE，
∴，
∴．
∵∠DAB=∠ABC，∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴，
∴．
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴，
∴EF=GC．
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽△DCG，
∴，
∴，
∴EG=GC，
∴=；

（3）如图3，∵AE=kBE，
∴，
∴．
∵∠DAB=∠ABC，∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴，
∴．
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴，
∴EF=GC．
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽△DCG，
∴，
∴，
∴EG=GC，
∴=．
点评：本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，在解答本题时灵活运用相似三角形的性质是关键．
练习册系列答案
相关题目
19、如图：正方形ABCD，M是线段BC上一点，且不与B、C重合，AE⊥DM于E，CF⊥DM于F．求证：AE2+CF2=AD2．
精英家教网如图，正方形ABCD中，E点在BC上，AE平分∠BAC．若BE=
2
cm，则△AEC面积为
 
cm2．
精英家教网如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（　　）
A、1B、2C、3D、4
17、如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是
16
．
如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．
（1）若ED：DC=1：2，EF=12，试求DG的长．
（2）观察猜想BE与DG之间的关系，并证明你的结论．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网