Question

如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A、B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）。

第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；

第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；

依此操作下去…

（1）图2中的三角形EFD是经过两次操作后得到的，其形状为____，求此时线段EF的长；

（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH。

①请判断四边形EFGH的形状为______，此时AE与BF的数量关系是______。

②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围。

Answer 1

【解答】（1）等边三角.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝BC＝AB，∠A＝∠B＝∠C＝90°.

∵ED=FD，

∴△ADE≌△CDF.(HL)

∴AE＝CF，BE＝BF.

∴BEF是等腰直角三角形。

设BE的长为x，则EF=x，AE=4- x.

∵在Ｒt△AED中，，DE=EF，

∴

解得，(不合题意，舍去).

∴EF＝x＝（－）＝－4＋4

（2） ①四边形EFGH为正方形；AE＝BF.

②∵AE＝x，

∴BE=4-x.

∵在Ｒt△BED中，，AE=BF，

∴

∵点E不与点A、B重合，点F不与点B、C重合，

∴0＜x＜4.

∵

，

∴当x=2时有最小值8，当x=0或4时，有最大值16，

∴y的取值范围是8＜y＜16.