Question

【题目】如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD．

（1）求证明：AD是⊙D的切线；

（2）若∠A＝60°，⊙O的半径为4，求ED的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DE＝4．

【解析】

（1）要证AD是⊙O的切线，只要连接OD，再证∠ADO＝90°即可；

（2）作OH⊥ED于H，根据垂径定理得到DE＝2DH，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：连接OD．

∵E为BC的中点，

∴OE⊥BC，

∵OD＝OE，

∴∠ODE＝∠OED，

∴∠AGD +∠OED＝∠EGF+∠OED＝90°，

∵∠AGD＝∠ADG，

∴∠ADG+∠ODE＝90°，即OD⊥AD，

∴AD是⊙O的切线；

（2）作OH⊥ED于H，

∴DE＝2DH，

∵∠ADG＝∠AGD，

∴AG＝AD，

∵∠A＝60°，

∴∠ADG＝60°，

∴∠ODE＝30°，

∵OD＝4，

∴DH＝OD＝2，

∴DE＝2DH＝4．