Question

如图，在△ABC中，点D在AC上，DA=DB，∠C=∠DBC，以AB为直径的交AC于点E，F是上的点，且    

（1）求证：BC是的切线；
（2）若sinC=，AE=，求sin∠AFE的值和AF的长．

Answer 1

（1）证明见解析（2），5

（1）证明：∵DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA.
又∵∠C=∠DBC，
∴∠DBA﹢∠DBC＝.
∴AB⊥BC.
又∵AB是的直径，
∴BC是的切线.………………………………………………………3分
（2）解：如图，连接BE，
∵AB是的直径，
∴∠AEB＝90°.
∴∠EBC＋∠C＝90°.
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＋∠EBC＝90°.
∴∠C＝∠ABE.
又∵∠AFE＝∠ABE，
∴∠AFE＝∠C.
∴sin∠AFE＝sin∠ABE＝sinC.
∴sin∠AFE＝. …………………………………………………………………6分
连接BF，
∴.
在Rt△ABE中，. ……………………………………8分
∵AF＝BF，
∴. …………………………………………………………………9分
（1）欲证BC是⊙O的切线，只需证明∠ABC=90°即可；
（2）如图，连接BE，BF，构建Rt△AEB和Rt△AFB．利用圆周角定理（同弧所对的圆周角相等）、等量代换以及切线的性质推知所求的∠F与已知∠C的数量关系sin∠AFE=sin∠ABE=sinC；然后利用锐角三角函数的定义可以求得sinF的值和AF的长．