Question

(满分l4分)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4，0)，C(8，0)，D(8，8)．抛物线y=ax²+bx过A，C两点．
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E，过点E作EF上AD交AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长?

Answer 1

舞：(1)点A的坐标为(4，8)．                               ……3分
将A(4，8)，C(8，0)两点坐标分别代人y=ax²+bx，
      8=16a+4b，
得
0=64a+8b．
解得a=一，b=4．
∴抛物线的解析式为：y=一x²+4x．                             ……7分
(2)在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=，即==，
∴PE=AP=t，PB=8一t．
∴点E的坐标为(4+t，8一t)．
∴点G的纵坐标为：一(4+t) ²+4(4+t)=-t²+8．            ……11分
∴EG=-t²+8-(8-t)
=-t²+t=-(t-4) ²+2．
∵-<0，∴当t=4时，线段EG最长为2．                          ……14分

解析