Question

观察算式：

1

1×2

=1-

1

2

=

1

2

，

1

1×2

+

1

2×3

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

=

2

3

，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=

3

4

；
…
（1）按规律填空：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

=

4

5

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

99×100

=

99

100

；
③如果n为正整数，那么

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n×(n+1)

=

n

n+1

；
（2）计算（由此拓展写出具体过程）：
①

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

99×101

；
②1-

1

2

-

1

6

-

1

12

-…-

1

9900

．

Answer 1

分析：（1）根据题意找出规律，根据此规律即可得出结论；
（2）把所给的式子进行化简，找出规律即可．

解答：解：∵观察算式：

1

1×2

=1-

1

2

=

1

2

，

1

1×2

+

1

2×3

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

=

2

3

，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=

3

4

；
…
∴（1）①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

=1-

1

5

=

4

5

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

99×100

=+…+

1

99

-

1

100

=1-

1

100

=

99

100

；
③如果n为正整数，那么

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n×(n+1)

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故答案为：

4

5

，

99

100

；

n

n+1

．

（2）①∵

1

1×3

+

1

3×5

=

1

3

+

1

15

=

2

5

；

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

=

1

3

+

1

15

+

1

35

=

3

7

…；
1-

1

5

=

4

5

=2×

2

5

；
1-

1

7

=

6

7

=2×

3

7

…，
∴

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

99×101

=

1

2

（1-

1

101

）=

50

101

；

②∵1-

1

2

-

1

6

=

1

3

，1-

1

2

-

1

6

-

1

12

=

1

4

…，
1-

1

1×2

-

1

2×3

=1-（1-

1

2

）-（

1

2

-

1

3

）=

1

3

，1-

1

2

-

1

6

-

1

12

=1-

1

1×2

-

1

2×3

-

1

3×4

=

1

4

，
∴1-

1

2

-

1

6

-

1

12

-…-

1

9900

=1-

1

1×2

-

1

2×3

-

1

3×4

-…-

1

99×100

=

1

100

．

点评：本题考查的是有理数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键．