Question

观察算式：

1

1×2

=1-

1

2

=

1

2

1

1×2

+

1

2×3

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

=

2

3

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=

3

4

按规律填空 

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

=

4

5

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

=

5

6

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

99×100

=

99

100

若n为正整数，试求：

1

n(n+1)

+

1

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

+

1

(n+3)(n+4)

+…+

1

(n+99)(n+100)

的值，并写出求值过程．

Answer 1

分析：根据给出的算式可发现规律为：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，按此规律将所给式子展开化简即可求得．

解答：解：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

=

4

5

；

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

=

5

6

；

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

99×100

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

99

-

1

100

=

99

100

；
 

1

n(n+1)

+

1

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

+

1

(n+3)(n+4)

+…+

1

(n+99)(n+100)

=

1

n

-

1

n+1

+

1

n+1

-

1

n+2

+

1

n+2

-

1

n+3

+…+

1

n+99

-

1

n+100

=

100

n(n+100)

．
故答案为：

4

5

；

5

6

；

99

100

．

点评：此题主要考查学生对规律型题的掌握情况．注意此题的规律为：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．掌握由特殊到一般的归纳方法．