Question

如图，在RT△ABC中，∠C=90°，作∠A平分线AD交BC于D，在AB上截取AE，使AE=AC，连接DE．
（1）根据题意，用直尺和圆规补全图形（不写画法，要保留痕迹）
（2）若∠B=45°，试判断△BDE的周长与线段AB的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）首先利用尺规作图作出∠CAB的平分线，然后截取AE=AC，即可作出图形；
（2）首先利用SAS证得△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质，可得∠DEA=∠C=90°，DE=CD，又由∠B=45°，即可求得答案．

解答：解：（1）如图：

（2）△BDE的周长=AB．
理由：∵∠A平分线是AD，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中，

AC=AE ∠CAD=∠EAD AD=AD

，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠DEA=∠C=90°，DE=CD，
∵∠B=45°，
∴∠BDE=∠CAB=∠B，
∴DE=BE，AC=BC=AE，
∴△BDE的周长为：BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB．

点评：此题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，考查了学生的动手能力．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用注意等量代换知识的应用．