题目内容
如图，在矩形
中，已知
、
两点的坐标分别为
，
为
的中点．设点
是
平分线上的一个动点（不与点
重合）．
（1）试证明：无论点运动到何处，
总与
相等；
（2）当点运动到与点
的距离最小时，试确定过
三点的抛物线的解析式；
（3）设点
是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，
的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；
（4）设点
是矩形的对称中心，是否存在点，使
？若存在，请直接写出点的坐标．
 |
解：（1）∵点是的中点，∴
，∴
．
又∵
是
的角平分线，∴
，
∴
，∴
．
（2）过点作的平分线的垂线，垂足为，点即为所求．
易知点
的坐标为（2，2），故
，作
，
 |
∵
是等腰直角三角形，∴
，
∴点的坐标为（3，3）．
∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为
．
又∵抛物线经过点
和点
，
∴有
解得
∴抛物线的解析式为
．
（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于的平分线的对称点即为点．
连接
，它与的平分线的交点即为所求的点（因为
，而两点之间线段最短），此时
的周长最小．
∵抛物线的顶点的坐标
，点的坐标
，
设
所在直线的解析式为
，则有
，解得
．
∴所在直线的解析式为
．
点满足
，解得
，故点的坐标为
．
的周长即是
．
（4）存在点，使．其坐标是或
．
练习册系列答案
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如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是（ ）
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