Question

已知关于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）当抛物线y=kx²+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y₁），Q（1，y₂）是此抛物线上的两点，且y₁＞y₂，请结合函数图象确定实数a的取值范围；

（3）已知抛物线y=kx²+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．

Answer 1

（1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根，

②当k≠0时，∵△=（2k+1）²﹣4k×2=（2k﹣1）²≥0，即△≥0，

∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）解：令y=0，则kx²+（2k+1）x+2=0，

解关于x的一元二次方程，得x₁=﹣2，x₂=﹣，

∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，

∴k=1．

∴该抛物线解析式为y=x²+3x+2，

．

由图象得到：当y₁＞y₂时，a＞1或a＜﹣3．

（3）依题意得kx²+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x²+2x）+x﹣y+2=0恒成立，

则，

解得或．

所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．