Question

正△ABC中，AE=CF，AF，BE交于点P，已知PA=2，PB=4，则PC=

 

．

Answer 1

分析：要求PC的长，有特殊角时要利用特殊角，本题很容易得出△ABE≌△CAF，从而得出∠APE=∠BPF=60°，得出全等三角形同一底边上的高也相等，利用勾股定理可以求出PC的长．

解答：解：分别过点A、C作AG⊥BE于点G，CD⊥AF于点D．
∵△ABC是正三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CAF，
∴∠1=∠2，AG=CD，
∵∠1+∠3=60°，
∴∠2+∠3=∠4=∠5=60°，
∵AG⊥BE，CD⊥AF，
∴∠AGB=∠CDA=90°，
∵∠1=∠2，AB=AC，
∴△ABG≌△CAD，
∴BG=AD，
在△APG中，∠AGB=90°，∠4=60°，AP=2，由勾股定理得
PG=1，AG=

3

，
∴CD=

3

，
∵PB=4，
∴BG=5，
∴AD=5，
∵AP=2，
∴PD=3，
在Rt△CDP中，由勾股定理得PC=2

3

．
故答案为：PC=2

3

．

点评：本题是一道利用正三角形的性质解答的几何题，本题考查了三角形全等，特殊角30°，60°角的运用以及辅助线的作法．