题目内容

正△ABC中，BC=20，D、E分别在AB、AC上，若△AED∽△ABC，且AD：DB=3：5，AE：EC=2，则DE=
15
2
15
2
．
分析：先根据AD：DB=3：5，可设AD=3x，则DB=5x，根据△ABC是等边三角形可得出x的值，进而得出AD的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
解答：解：∵AD：DB=3：5，
∴设AD=3x，则DB=5x，
∵△ABC是等边三角形，
∴3x+5x=20，解得x=
5
2
，
∴AD=3x=
15
2
，
∵△AED∽△ABC，
∴
AD
AC
=
DE
CB
，即
15
2
20
=
DE
20
，解得DE=
15
2
．
故答案为：
15
2
．
点评：本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
练习册系列答案
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（2009•上海模拟）已知在正△ABC中，AB=4，点M是射线AB上的任意一点（点M与点A、B不重合），点N在边BC的延长线上，且AM=CN．连接MN，交直线AC于点D．设AM=x，CD=y．
（1）如图，当点M在边AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当点M在边AB上，且四边形BCDM的面积等于△DCN面积的4倍时，求x的值．
（3）过点M作ME⊥AC，垂足为点E．当点M在射线AB上移动时，线段DE的长是否会改变？请证明你的结论．
（2009•新昌县模拟）上课时老师出示了下面的题目：
如图1，正△ABC中，P为BC上一点，作PE⊥AB，PF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为E，F，G．
求证：PE+PF=BG．
喜欢思考的小明，给出了如下证法：
证明：连接AP，∵S△ABC=S△ABP+S△ACP
又PE⊥AB，PF⊥AC，BG⊥AC
∴
1
2
AC•BG=
1
2
AB•PE+
1
2
AC•PF
∵AB=AC
∴BG=PE+PF
老师非常赞赏，面积法证明本题真简洁!老师又引导学生继续探索．
（1）当点P在CB延长线上时，上述结论是否成立？若不成立，探究三条线段之间PE，PF，BG之间的数量关系．写出猜想，不要求证明．
（2）①将“P为BC上一点”改成”P为正△ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E，F，M，G．有类似结论吗？请写出结论并证明．
②若点P在如图所示的位置时，①的结论是否成立？试探究四条线段PE，PF，PM，BG的数量关系．
拓展与探索：
如图，在正△ABC中，点E在AC上，点D在BC的延长线上．

（1）如图（1），AE=EC=CD，求证：BE=ED；
（2）若E为AC上异于A、C的任一点，
①当AE=CD时，如图（2），（1）中结论是否仍然成立？为什么？
②当EC=CD时呢？
（3）若E为AC延长线上一点，且AE=CD，试探索BE与ED间的数量关系，并证明你的结论．

正△ABC中，BC=20，D、E分别在AB、AC上，若△AED∽△ABC，且AD：DB=3：5，AE：EC=2，则DE=________．

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