Question

如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（，），对称轴为直线x=﹣，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；

（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）证明△PCF≌△OED，得CF=DE；证明△CDM≌△FEN，得CD=EF．这样四边形CDEF两组对边分别对应相等，所以四边形CDEF是平行四边形；

（3）根据已知条件，利用相似三角形△PCF∽△MDC，可以证明矩形PMON是正方形．这样点P就是抛物线y=x²+x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点，联立解析式解方程组，分别求出点P的坐标．符合题意的点P有四个，在四个坐标象限内各一个．

解答：

（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+）²+k，

∵点A（0，﹣3），B（，）在抛物线上，

∴，

解得：a=1，k=．

∴抛物线的解析式为：y=（x+）²=x²+x﹣3．

（2）证明：如右图，连接CD、DE、EF、FC．

∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，

∴四边形PMON为矩形，

∴PM=ON，PN=OM．

∵PC=MP，OE=ON，

∴PC=OE；

∵MD=OM，NF=NP，

∴MD=NF，

∴PF=OD．

在△PCF与△OED中，

∴△PCF≌△OED（SAS），

∴CF=DE．

同理可证：△CDM≌△FEN，

∴CD=EF．

∵CF=DE，CD=EF，

∴四边形CDEF是平行四边形．

（3）解：假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形．

设矩形PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC=m，MC=m，MD=n，PF=n．

若四边形CDEF为矩形，则∠DCF=90°，易证△PCF∽△MDC，

∴，即，化简得：m²=n²，

∴m=n，即矩形PMON为正方形．

∴点P为抛物线y=x²+x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点．

联立，

解得，，

∴P₁（，），P₂（﹣，﹣）；

联立，

解得，，

∴P₃（﹣3，3），P₄（﹣1，1）．

∴抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P₁（，），P₂（﹣，﹣），P₃（﹣3，3），P₄（﹣1，1）．

点评：

本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、相似三角形、解方程、矩形、正方形等知识点，所涉及的考点较多，但难度均匀，是一道好题．第（2）问的要点是全等三角形的证明，第（3）问的要点是判定四边形PMON必须是正方形，然后列方程组求解．