题目内容
【题目】如图，抛物线经过点A(1，0)，B(5，0)，C(0，
)三点，顶点为D，设点E(x，y)是抛物线上一动点，且在x轴下方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E(x，y)运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？
（3）在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点距离之和d＝MD+MB最小，求点M的坐标．
【答案】（1）y＝
x2﹣4x+
；（2）S＝﹣
（x﹣3）2+
（1＜x＜5），当x＝3时，S有最大值；（3）(0，﹣)
【解析】
（1）设出解析式，由待定系数法可得出结论；
（2）点E在抛物线上，用x去表示y，结合三角形面积公式即可得出三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，再由E点在x轴下方，得出1＜x＜5，将三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式配方，即可得出最值；
（3）找出D点关于y轴对称的对称点D′，结合三角形内两边之和大于第三边，即可确定当MD+MB最小时M点的坐标．
解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则
，解得：
．
故抛物线解析式为y＝x2﹣4x+．
（2）过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，如图1所示．
E点坐标为(x，x2﹣4x+)，F点的坐标为(x，0)，
∴EF＝0﹣(x2﹣4x+)＝﹣x2+4x﹣．
∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，
∴1＜x＜5．
三角形OEB的面积S＝
OBEF＝×5×(﹣x2+4x﹣)＝﹣(x﹣3)2+(1＜x＜5＝．
当x＝3时，S有最大值．
（3）作点D关于y轴的对称点D′，连接BD′，如图2所示．
∵抛物线解析式为y＝x2﹣4x+＝(x﹣3)2﹣
，
∴D点的坐标为(3，﹣)，
∴D′点的坐标为(﹣3，﹣)．
由对称的特性可知，MD＝MD′，
∴MB+MD＝MB+MD′，
当B、M、D′三点共线时，MB+MD′最小．
设直线BD′的解析式为y＝kx+b，则
，解得：
，
∴直线BD′的解析式为y＝
x﹣．
当x＝0时，y＝﹣，
∴点M的坐标为(0，﹣)．
