题目内容
（2013•龙岩）如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y=| k |
| x |
（1）若S△OCF=
| 3 |
（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；
（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）设F（x，y），得到OC=x与CF=y，表示出三角形OCF的面积，求出xy的值，即为k的值，进而确定出反比例解析式；
（2）过E作EH垂直于x轴，EG垂直于y轴，设OH为m，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出EH与OE，进而表示出E的坐标，代入反比例解析式中求出m的值，确定出EG，OE，EH的长，根据EA与EG的大小关系即可对于圆E与y轴的位置关系作出判断；
（3）过E作EH垂直于x轴，设FB=x，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出FC与BC，进而表示出AF与OC，表示出AE与OE的长，得出OE与EH的长，表示出E与F坐标，根据E与F都在反比例图象上，得到横纵坐标乘积相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出BF与FA的比值．
（2）过E作EH垂直于x轴，EG垂直于y轴，设OH为m，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出EH与OE，进而表示出E的坐标，代入反比例解析式中求出m的值，确定出EG，OE，EH的长，根据EA与EG的大小关系即可对于圆E与y轴的位置关系作出判断；
（3）过E作EH垂直于x轴，设FB=x，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出FC与BC，进而表示出AF与OC，表示出AE与OE的长，得出OE与EH的长，表示出E与F坐标，根据E与F都在反比例图象上，得到横纵坐标乘积相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出BF与FA的比值．
解答：解：（1）设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC=x，CF=y，
∴S△OCF=
xy=
，
∴xy=2
，
∴k=2
，
∴反比例函数解析式为y=
（x＞0）；
（2）该圆与y轴相离，
理由为：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，
在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
设OH=m，则tan∠AOB=
=
，
∴EH=
m，OE=2m，
∴E坐标为（m，
m），
∵E在反比例y=
图象上，
∴
m=
，
∴m1=
，m2=-
（舍去），
∴OE=2
，EA=4-2
，EG=
，
∵4-2
＜
，
∴EA＜EG，
∴以E为圆心，EA垂为半径的圆与y轴相离；
（3）存在．
假设存在点F，使AE⊥FE，
过E点作EH⊥OB于点H，设BF=x．
∵△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
∴BC=FB•cos∠FBC=
x，FC=FB•sin∠FBC=
x，
∴AF=4-x，OC=OB-BC=4-
x，
∵AE⊥FE，
∴AE=AF•cosA=2-
x，
∴OE=OA-AE=
x+2，
∴OH=OE•cos∠AOB=
x+1，EH=OE•sin∠AOB=
x+
，
∴E（
x+1，
x+
），F（4-
x，
x），
∵E、F都在双曲线y=
的图象上，
∴（
x+1）（
x+
）=（4-
x）•
x，
解得：x1=4，x2=
，
当BF=4时，AF=0，
不存在，舍去；
当BF=
时，AF=
，BF：AF=1：4．
∴S△OCF=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴xy=2
| 3 |
∴k=2
| 3 |
∴反比例函数解析式为y=
2
| ||
| x |
（2）该圆与y轴相离，
理由为：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，
在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
设OH=m，则tan∠AOB=
| EH |
| OH |
| 3 |
∴EH=
| 3 |
∴E坐标为（m，
| 3 |
∵E在反比例y=
2
| ||
| x |
∴
| 3 |
2
| ||
| m |
∴m1=
| 2 |
| 2 |
∴OE=2
| 2 |
| 2 |
| 2 |
∵4-2
| 2 |
| 2 |
∴EA＜EG，
∴以E为圆心，EA垂为半径的圆与y轴相离；
（3）存在．
假设存在点F，使AE⊥FE，
过E点作EH⊥OB于点H，设BF=x．
∵△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
∴BC=FB•cos∠FBC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴AF=4-x，OC=OB-BC=4-
| 1 |
| 2 |
∵AE⊥FE，
∴AE=AF•cosA=2-
| 1 |
| 2 |
∴OE=OA-AE=
| 1 |
| 2 |
∴OH=OE•cos∠AOB=
| 1 |
| 4 |
| ||
| 4 |
| 3 |
∴E（
| 1 |
| 4 |
| ||
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∵E、F都在双曲线y=
| k |
| x |
∴（
| 1 |
| 4 |
| ||
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
解得：x1=4，x2=
| 4 |
| 5 |
当BF=4时，AF=0，
| BF |
| AF |
当BF=
| 4 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．
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